1. Структура представления данных в задачах математической статистики
2. Понятие случайной величины . Распределение случайной величины
3. Плотность распределения и ее свойства. Статистический аналог плотности распределения
4. Функция распределения и ее свойства. Статистический аналог функции распределения
5. Предельные теоремы
6. Экспоненциальное распределение случайной величины. Параметры распределения, их статистическая оценка
7. Закон Пуассона распределения случайной величины . Параметры распределения, их статистическая оценка.
8. Нормальное распределение с.в. Параметры распределения, их статистическая оценка..
9. Распределения некоторых функций нормальной случайной величины (хи-квадрат, Стьюдента, Фишера)
10. Требования , предъявляемые к оценкам параметров распределения
11. Оценивание параметров распределения методом максимального правдоподобия
12. Получение интервальной оценки математического ожидания при неизвестной дисперсии.
13. Получение интервальной оценки математического ожидания при известной дисперсии
14. Получение интервальной оценки неизвестной дисперсии распределения при неизвестном математическом ожидании
15. Алгоритм интервального оценивания параметров распределения
16. Получение интервальной оценки неизвестной дисперсии распределения при известном математическом ожидании
17. Пусть х1,…,хn выборка объема n из нормального распределения с неизвестным параметром а. Построить точный ДИ для параметра а уровня доверия 1-α
18. Пусть х1,…,хn выборка объема n из показательного распределения с неизвестным параметром µ. Построить асимптотически точный ДИ для параметра µ уровня доверия 1-α
19. Требования к статистике, применяемой для оценки статистической гипотезы, теорема     Неймана-Пирсона
20. Алгоритм оценивания статистических гипотез. Выбор критической области
21. Статистическая гипотеза. Условная классификация статистических гипотез.
22. Наиболее мощный критерий оценки статистической гипотезы
23. Статистическая гипотеза – определение, виды статистических гипотез, доверительный уровень, критерий, мощность критерия
24. Минимаксный критерий оценки статистической гипотезы
25. Байесовский критерий оценки статистической гипотезы
26. Оценка гипотез о математическом ожидании при известной дисперсии
27. Оценка гипотез о математическом ожидании при неизвестной дисперсии
28. Оценка гипотез о дисперсии при неизвестном математическом ожидании
29. Оценка гипотез о дисперсии при известном математическом ожидании
30. Оценка гипотезы о виде распределения случайной величины по критерию Колмогорова
31. Оценка гипотезы о виде

Постановка задачи. Для выполнения курсового проекта необходима компьютерная модель «чёрного ящика» – преобразователя вектора Х входных воздействий с аддитивной погрешностью (рис.1).

Исходные данные.

1. Функция Y=F(X).
2. Вид распределения.
3. Параметры распределения.
4. Моменты распределения

Моделирование погрешности произвольного непрерывного распределения на основе датчика независимых с.ч. равномерного распределения.

Метод обратной функции.

Метод режекции.

Моделирование нормального распределения.

Моделирование распределения Эрланга.

Вид распределения задается функцией распределения F(x) или плотностью распределения f(x).

x

F(x)=∫  f(x)dx .

                                                                          -∞

∞

F(x)=∫  f(x)dx =1.

                                                                          -∞

Параметры распределения – константы аналитического выражения функции распределения. Иногда параметрами распределения являются моменты, например, в нормальном распределении параметрами являются математическое ожидание и дисперсия.

По известным моментам можно определить параметры.

Моменты –

начальные n-порядка                                    b

µ=∫  xⁿ f(x)dx

                                                                         a

центральные n-порядка                             b

ε_n=∫  (x-m)ⁿ f(x)dx

                                                                      a

Математическое ожидание                           b

m=∫  x¹ f(x)dx

                                                                         a

Дисперсия                                                   b

Ɛ=∫  (x-m)² f(x)dx

                                                                     a

Метод обратной функции.

Пусть  , где  — строго монотонная, непрерывная функция на интервале (0,1),  задана.

Тогда для

.

Или  для

для       Доказательство [1 ст.19]

Алгоритм моделирования случайной величины следующий:

1. Генерируем случайную величину , имеющую равномерное распределение на интервале (0,1).

2. Решаем уравнение x=F^-1() или x=F^-1(1-), где х – искомая случайная величина с заданным законом распределения.

Метод режекции Дж. фон Неймана.

Используется , если

Пусть заданы g(x) итакие, что  и . Пусть также существует метод моделирования для плотности .

Тогда, алгоритм для  включает следующие действия:

1) Выбирается случайно точка , где

Постановка задачи.

Есть модель технологического процесса в виде «черного ящика» (ч.я.) (рис.1). На вход ч.я. подаётся n-мерный вектор Х (х1,х2,…,хn) входных воздействий. На выходе измеряется отклик , представленный в виде числа, с аддитивной погрешностью . Необходимо построить  уравнение регрессии в виде полинома , с заданной точностью .

Х

Рис.1 Модель черного ящика.

Исходные данные.

1. Модель ч.я.
2. Диапазон значений вектора входных воздействий.
3. Точность аппроксимации.

Алгоритм выполнения задания.

1. Планирование и проведение эксперимента.

1.1.  Определить вид полинома.

1.2.  Сформировать матрицу планирования А.

1.3.  Провести компьютерный эксперимент в соответствии с данными  матрицы планирования. В каждой точке плана проводится не меньше 12 экспериментов, в этом случае отклик имеет асимптотически нормальное распределение.

2. Обработка результатов эксперимента.

2.1.  Вычислить средний отклик в каждой точке плана. Заполнить матрицу А.

2.2.  Вычислить коэффициенты полинома. Вычислить отклики, даваемые уравнением регрессии.

2.3.  Проверить построенное уравнение регрессии на адекватность. В случае, если уравнение не удовлетворяет критерию адекватности, вернутся на п.1, дополнив полином.

2.4.  Проверить точность аппроксимации. Если точность неудовлетворительна, вернуться на п.1, дополнив полином.

2.5.  Провести факторный анализ модели.

3. Выводы.

Краткий список используемых обозначений.

1. N – число повторений опыта в каждой точке плана
2. n – число слагаемых в уравнении регрессии
3. m – число факторов (размерность входного вектора Х)
4. t – число точек в плане
5. k – число генераторов в ДФП
6.  — средний отклик, даваемый экспериментом
7.  — отклик, даваемый уравнением регрессии
8.  — транспонированная матрица планирования.
9. Θ – неизвестные коэффициенты уравнения регрессии.
10.   — оценки неизвестных коэффициентов регрессии

Указания к выполнению задания.

Общие замечания.

Будем использовать следующие термины:

— фактор – переменная, влияющая на отклик. Факторами являются входные переменные модели х₁,х₂,…,х_n, образующие вектор Х входных переменных;

— план эксперимента – область определения Х;

— точка в плане эксперимента – означенный вектор Х;

— аппроксимирующий полином – некоторая бесконечная последовательность вида

Например, полином с двойными взаимодействиями и тремя факторами имеет вид

,

под взаимодействием понимается произведение факторов.

Необходимое количество точек в плане эксперимента,

1. Понятие случайной величины . Распределение случайной величины .
2. Функция распределения и ее свойства. Статистический аналог функции распределения.
3. Плотность распределения и ее свойства. Статистический аналог плотности распределения.
4. Начальные и центральные моменты n-го порядка. Понятие математического ожидания и дисперсии.
5. Нормальное распределение с.в. Параметры распределения, их статистическая оценка.
6. Экспоненциальное распределение случайной величины. Параметры распределения, их статистическая оценка.
7. Закон Пуассона распределения случайной величины . Параметры распределения, их статистическая оценка.
8. Распределения некоторых функций нормальной случайной величины (хи-квадрат, Стьюдента, Фишера).
9. Двумерная случайная величина и ее распределение.
10. Зависимость случайных величин . Уравнение регрессии.
11. Предельные теоремы.
12. Получение коэффициентов уравнения регрессии методом наименьших квадратов.
13. Оценивание параметров распределения методом моментов.
14. Оценивание параметров распределения методом максимального правдоподобия.
15. Интервальное оценивание параметров распределения.
16. Требования , предъявляемые к оценкам параметров распределения.
17. Получение интервальной оценки неизвестной дисперсии распределения при известном математическом ожидании.
18. Получение интервальной оценки неизвестной дисперсии распределения при неизвестном математическом ожидании.
19. Получение интервальной оценки математического ожидания при известной дисперсии.
20. Получение интервальной оценки математического ожидания при не известной дисперсии.
21. Статистическая гипотеза. Условная классификация статистических гипотез.
22. Алгоритм оценивания статистических гипотез. Выбор критической области.
23. Требования к статистике, теорема Неймана-Пирсона.
24. Оценка гипотез о математическом ожидании при известной дисперсии.
25. Оценка гипотез о математическом ожидании при неизвестной дисперсии.
26. Оценка гипотез о дисперсии при известном математическом ожидании.
27. Оценка гипотез о дисперсии при неизвестном математическом ожидании.
28. Оценка гипотезы о равенстве двух средних генеральных совокупностей при известных дисперсиях.
29. Оценка гипотезы о равенстве двух средних генеральных совокупностей при неизвестных дисперсиях.
30. Оценка гипотезы о равенстве двух дисперсий генеральных совокупностей по выборкам большого объема.
31. Оценка гипотезы о виде распределения случайной величины по критерию хи-квадрат.
32. Оценка гипотезы о виде распределения случайной величины по критерию Колмогорова.
33. Оценка гипотезы о виде распределения случайной