ПРЕДИСЛОВИЕ
Данные методические указания предназначены для первоначального изучения численных методов и алгоритмов решения нелинейных уравнений, вычисления определенных интегралов, а также методов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных
уравнений. Первая часть методических указаний содержит три лабораторных работы:
– № 1 – «Численное решение нелинейных уравнений»,
– № 2 – «Вычисление определенных интегралов»,
– № 3 – «Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений».
В методических указаниях для каждой работы имеется описание
применяемых методов на простых примерах, а также варианты заданий для их выполнения. В первой части методических указаний описаны три первые лабораторные работы.
Лабораторная работа № 1
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
1.1. Общие методические указания к численным методам
решения нелинейных уравнений
Уравнением называется равенство
f(x) = 0,
(1.1)
справедливое при некоторых значениях x = x*, называемых корнями
этого уравнения или нулями функции f(x). Решение уравнения заключается в определении его корней. Среди корней x* могут быть и
комплексные, однако в данной работе вычисляются только действительные корни.
Вычисление каждого из действительных корней складывается из
двух этапов:
1) отделение корня, т. е. нахождение возможно малого интервала
[a, b], в пределах которого находится один и только один корень x*
уравнения;
2) уточнение значения корня, т. е. вычисление с заданной степенью точности.
При использовании рассматриваемых ниже методов решения уравнения (1.1) к функции f(x) на интервале [a, b] предъявляются следующие требования:
а) функция f(x) непрерывна и дважды дифференцируема (т. е. существует первая и вторая производные);
б) первая производная f’(x) непрерывна, сохраняет знак и не обращается в нуль;
в) вторая производная f”(x) непрерывна и сохраняет знак.
Отделение корней может производиться аналитическим или графическим способами. Аналитический способ основывается на теореме Коши, утверждающей, что для непрерывной функции f(x) (первое
требование «а»), принимающей на концах интервала [a, b] разные
знаки, т. е. f(a)Чf(b)< 0, уравнение (1.1) имеет внутри этого интервала хотя бы один корень (рис. 1.1, а). Если к этому добавить второе
требование «б», означающее монотонность функции f(x), то этот ко
рень оказывается единственным (рис. 1.1, б). В противном случае
следует интервал [ak, ak+1] разделить на меньшие интервалы, повторяя для каждого из них указанные действия. В этих условиях отделение корня сводится к вычислению значений функции f(x) для последовательности точек a1, a2, …, an и сопоставлению знаков f(ak),
f(ak+1) в соседних точках ak и ak+1.
При использовании графического способа уравнение (1.1) следует
представить в виде
f1(x) = f2(x)
(1.