Расчет полей на основе дифференциальных уравнений
1. Теоретическая часть
1.1. Электростатическое поле
Электростатическое поле создается зарядами, неизменными во
времени и неподвижными в пространстве.
Уравнения электростатического поля можно получить из системы уравнений электромагнитного поля, которые в дифференциальной форме имеют вид
?
rotE = 0,
?
divD = ?,
? ?
D = ?E.
безвихревой характер поля позволяет ввести вспомогательную
функцию – скалярный электрический потенциал u, которая удовлетворяет либо уравнению пуассона в области с зарядами
u ?,
D = – ?
либо уравнению лапласа в области, свободной от зарядов
?u = 0.
?
(1.1)
напряженность электрического поля E находится из выражения
E?= -gradu. (1.2)
полученное решение будет единственным, если оно удовлетворяет граничным и краевым условиям.
граничные условия определяют поведение составляющих векторов поля на границе раздела сред, где значения параметров меняются скачком.
3
в электростатическом поле на границе раздела сред при отсутствии поверхностных зарядов непрерывны касательные составляющие вектора E и нормальные составляющие вектора D?, т. е.
Et1 = Et2,Dn1 = Dn2.
(1.3)
при наличии на поверхности раздела заряда с поверхностной
плотностью s граничные условия имеют вид
Et1 = Et2,Dn1 – Dn2 = s.
(1.4)
краевые условия определяют поведение векторов поля в регулярных точках (в нуле и на бесконечности), а также на определенным
образом выбранной поверхности.
1.2. Стационарное магнитное поле
Стационарное магнитное поле в области с электрическими токами имеет вихревой характер и описывается следующими уравнениями в дифференциальной форме:
rotH?=??
,
?
divB =?0,
?
B = ?H.
?
в области без электрических токов, где ??= 0 и rotH?=0, данное
поле принято называть потенциальным, так как для его расчета
можно ввести функцию – скалярный магнитный потенциал uм, который находится из уравнения лапласа
?uм = 0.
при этом напряженность магнитного поля получаем в виде
?
H = -graduм.
граничные условия на поверхности раздела сред с различными
магнитными проницаемостями состоят в том, что
Ht1 = Ht2,Bn1 = Bn2,
где Bn1,Bn2 – нормальные составляющие вектора магнитной индукции.
если на такой поверхности протекают токи с поверхностной
плотностью K?, то граничные условия изменяются и принимают
следующий вид:
Ht1 – Ht2 = Kn, Bn1 = Bn2.
4
1.3. Операции векторного анализа
в ортогональных криволинейных координатах
произвольная точка P в пространстве задана тремя независимы-?
ми координатами x1; x2 ; x3. расстояние dl между любыми двумя
точками – это приращение радиуса вектора dr?, при этом в ортогональной системе координат приращению каждой координаты dxk
соответствует перемещение вдоль этой координатной линии на элемент длины dlk:
dlk = hk dxk, k = 1, 2, 3,
где hk –