Лабораторная работа № 1
Оценка спектраЛьных
характеристик сЛучайных прОцессОв
Цель работы – изучение и освоение навыков практического применения методов оценки спектральных характеристик стационарных случайных процессов, имитируемых на ЦВМ с заданной точностью.
Методические указания, основные понятия
В лабораторной работе моделируется стационарный случайный
процесс (t) в виде совокупности из M своих реализаций, примеры
которых иллюстрирует рис. 1. Каждая такая реализация xm(t) для
m=0, …, M–1 (показана на рис. 1 пунктиром) имитируется в N точках
временной оси как решетчатый процесс xm[n]=xm(nDt), где n=0, …,
N–1, Dt – шаг дискретизации.
Все реализации процесса (t) ограничены по времени интервалом
от 0 до T=NDt, поэтому для оценки спектральных характеристик используется финитное преобразование Фурье [1] с пределами интегрирования от 0 до T. Это преобразование определяет спектральный
образ Xm(f) для m-й реализации xm(t)
Для дискретных отсчетов времени преобразование (1) позволяет вычислить отсчеты Xm(fk) на дискретных частотах
fk= k T k N t( ), нумеруемых индексом k, при этом интеграл в (1)
заменяется конечной суммой.
Данная формула определяет последовательность по k из коэффициентов Xm[k] результатов дискретного преобразования Фурье.
Оценку двусторонней спектральной плотности G f( ) моделируемого случайного процесса (t) можно получить как совокупность
выборочных средних значений (по каждой частоте fk) от результатов
преобразования (2), т. е.
M-1
( )=
G f
1
MN t
е
m=0
( )2.
X f
m k
(3)
Отметим, что в (3) первые N/2+1 значений G f ( ) при k=0, …, N/2
представляют собой оценку спектральной плотности в диапазоне
частот от 0 до частоты Найквиста fs =1 2( t), а остальные N/2–1
4
значений при k=N/2+1, …, N–1 можно рассматривать как оценку
спектральной плотности в интервале частот от –fs до 0. Поскольку
функция спектральной плотности вещественна, то
( )= (2 S -fk).
G f G f
(4)
Свойство симметрии (4) при компьютерном моделировании позволяет ограничиться вычислением только одной (правой) части
спектральной плотности, т. е. в диапазоне значений k=0, …, N/2.
Оценка, вычисляемая по формуле (3), соответствует определению спектральной плотности как результата дискретного преобразования Фурье вида (2) от корреляционной функции и содержит сомножитель Dt. Наличие сомножителя Dt обеспечивает соответствие
размерностей спектральной плотности для дискретного и непрерывного представления случайного процесса (t), а также сохраняет физический смысл спектральной плотности [2]. Важно отметить, что
сомножитель Dt часто опускается с целью упрощения математических действий, например, в задачах исследования систем управления [5].
Коэффициенты спектрального разложения Xm[k], необходимые
для вычислений по формуле (3), программа Mathcad позволяет получать, используя алгоритм