Целью лабораторных работ по дисциплине «Автоматизация проектирования систем и средств управления» является:
– закрепление теоретических знаний, полученных при изучении
курса «Автоматизация проектирования систем и средств управления»;
– освоение пакета конечномерного моделирования ELCUT.
1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ
НА МИКРОУРОВНЕ
Математическая модель технического объекта на микроуровне –
это система дифференциальных уравнений в частных производных,
описывающая процессы в сплошной среде с заданными краевыми условиями.
Примеры уравнений
Определение прочности узлов и элементов конструкции при различных видах нагрузки. В общем виде
K
z
Q
0,
(1.1)
x
x y
y z
z
где x, y, z – пространственные координаты; – искомая непрерывная
функция; Kx, Ky, Kz – коэффициенты; Q – внешнее воздействие
В двумерном случае: задача напряженного состояния, возникающего в поперечном сечении упругого однородного стержня под воздействием крутящего момента при Kx = Ky = 1 имеет вид
2
2
2
22E 0,
x y
где – функция, связанная с напряжениями сдвигаx
;
y и
yx
E – модуль сдвига материала стержня; – угол закручивания на единицу длины.
Крутящий момент
2 d ,
M где S – площадь сечения, в явном
S
виде не входит в уравнение.
3
Расчет тепловых режимов деталей и узлов конструкции
x
2
T
y
2
T
z
2
TQ
0,
(1.2)
2
y2
2
x
z
гдеx,y,z – коэффициенты теплопроводности материала по осям x,
y, z; Q – источник тепла внутри тела, который считается положительным, если тепло подводится к телу.
Уравнения (1.1) и (1.2) имеют множество решений. Для получения единственного решения задаются граничные условия. Исходное
дифференциальное уравнение в частных производных вместе с краевыми условиями называется краевой задачей.
Для решения таких уравнений используется метод конечных элементов.
2. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Метод конечных элементов (МКЭ) представляет собой эффективный численный метод решения инженерных и физических задач.
Область его применения простирается от анализа напряжений в конструкциях самолетов и автомобилей до расчета таких сложных систем как атомная электростанция. С его помощью исследуются тепловые процессы, магнитные и электрические поля, анализируются
колебания систем. Первоначально МКЭ появился в строительной
механике.
Конечным элементом называется некоторая малая область тела в
совокупности с заданными в ней функциями формы, аппроксимирующими геометрию конечного элемента и неизвестные величины.
Основная идея МКЭ состоит в том, что любую непрерывную величину, такую как, например, температура, можно аппроксимировать
дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно”непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей.