1. Дифференциальные уравнения первого порядка.
При решении задач из различных областей науки и техники,
а также экономики часто приходится рассматривать уравнения,
которые кроме независимых переменных и неизвестных (искомых) функций от этих переменных содержат производные искомых функций или их дифференциалы. если искомые (неизвестные) функции, входящие в дифференциальное уравнение,
зависят только от одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением. если же искомые (неизвестные) функции зависят от нескольких независимых переменных, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных
[1, 2].
Определение 1. Пусть x – независимая переменная, а y = y(x) –
искомая (неизвестная) функция, зависящая от этой переменной.
общим видом обыкновенного дифференциального уравнения nго порядка называется соотношение вида
F (x, y, y, y, …, y (n) ) = 0,
где F – некоторая функция от переменной x, искомой функции
y = y(x) и ее производных до n-го порядка включительно. равенство вида
y (n) = f (x, y, y, y, …, y (n1) ),
где f – некоторая функция независимой переменной x, искомой
(неизвестной) функции y = y(x) и ее производных до (n1)-го порядка включительно, называется дифференциальным уравнением n-го порядка, разрешенным относительно старшей производной [1–5].
Определение 2. решением (или частным решением) дифференциального уравнения называется всякая функция y = j(x),
подстановка которой в дифференциальное уравнение вместо искомой функции обращает его в тождество по независимой переменной x. неявная форма (x, y) = 0 решения дифференциального уравнения называется его интегралом [1, 3, 5].
Определение 3. график решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. в случае интеграла
дифференциального уравнения интегральной кривой называется множество точек числовой плоскости, координаты которых
удовлетворяют равенству (x, y) = 0 [1–6].
1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка,
разрешенные относительно производной
Определение 4. общим видом дифференциального уравнения
первого порядка называется равенство
F (x, y, y) = 0,
выражающее взаимосвязь независимой переменной x, искомой
функции y = y(x) и ее производной y. равенства
y = f (x, y) или dy = f (x, y)dx
(1.1)
называются дифференциальным уравнением первого порядка,
разрешенным относительно производной [1, 4, 5].
Пример 1. в случае уравнения
xy x2 y = 0 или yyx
x
(1.2)
решением является функция y = x2 + Cx, поскольку при подстановке в уравнение (1.2) этой функции и ее производной y=
= 2x + C мы получаем тождество по независимой переменной x
при любом значении постоянной C: x(2x + C) x2 (x2 + Cx) =
= 2×2 + Cx x2 x2 Cx = 0. Как видно, дифференциальное уравнение (1.2) имеет бесконечное множество решений (при каждом
из действительных значений