1. Дифференциальные уравнения
высших порядков
Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются дифференциальными уравнениями высших порядков. В основном ограничимся уравнениями второго порядка.
Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида
F (x, y, y , y ) = 0.
Решением уравнения (1) называется функция y = (x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Общим решением уравнения (1) называется функция
y = (x, C1, C2), которая является решением (1) и любое
решение может быть получено из нее при некоторых C1 и
C2. Начальными условиями для решения y = (x) уравнения (1) называется тройка чисел x0, y0, y0 такая, что y |x=x0=
y0, y |x=x0=y0. Задача нахождения решения, удовлетворяющего данным начальным условиям, называется задачей Коши. Для нее имеет место теорема существования и единственности, аналогичная той, которая рассматривалась для дифференциальных уравнений первого порядка.
В некоторых случаях уравнение второго порядка можно
привести к уравнениям первого порядка. Рассмотрим такие
случаи.
1.1. Уравнение, не содержащее в явном
виде искомой функции и ее
первой производной
Уравнение не содержит в явном виде искомой функции и
ее первой производной. Оно может быть записано в виде
y = f (x).
Очевидно y = (y ) = f (x), откуда y =
f (x) dx + C1 и
y =
f (x) dx + C1 dx+C2=
f (x) dx dx+C1x+C2
(здесь интеграл подразумевает какую-либо первообразную).
Замечание 1
Так же можно решать уравнения любого порядка, имеющие вид y(n) = f (x).
Пример 1
Решить уравнение y = cos x.
Решение
y =
cos x dx + C1 = sin x + C1, y =
(sin x + C1)dx +
C2. Общее решение y = cos x + C1x + C2 (здесь интегралы
означают первообразные !).
1.2. Уравнение, не содержащее в
явном виде искомой функции
Уравнение не содержит в явном виде искомой функции,
т.е. имеет вид
F (x, y , y ) = 0. (2)
Понизить его порядок можно введением новой неизвестной
функции y = p(x) = p. Тогда y = p , и уравнение примет
вид F (x, p, p ) = 0. Его общее решение p = p(x, C1)или y =
p(x, C1). Общее решение уравнения (2): y =
Пример 2
Решить уравнение xy = y .
Решение
p(x, C1)dx+C2.
Введем неизвестную функцию y = p, y = p . Уравнение
примет вид xp = p;dp=dx; ln |p| = ln |x| +ln |C |; p = Cx;
y = Cx; y =
y = C1x2 + C2.
2x
2+C2=C1x2 + C2 . Общее решение
1.3. Уравнение, не содержащее в явном
виде независимой переменной
Уравнение не содержит в явном виде независимой переменной, т.е. имеет вид
F (y, y , y ) = 0.
Введем новую неизвестную функцию как функцию от y :
y = p(y ) = p.
Продифференцируем p(y) по переменной x:
px= pyy = p p = y .
Уравнение примет вид F (y, p, p p) = 0 или F1(y, p, p ) = 0.
p = p(y, C1)– его общее решение или y = p(y, C1)– уравнение
первого порядка с разделяющимися переменными. Решим его
dy
p(y, C1)
=dxили
dy
p(y, C1)
=x+ C2.
Пример 3
Решить уравнение y = a2y.
Решение
Положим y = p(y) = p; y = p p; p p = a2y ;
dp
p
dy
= a2y dy; p dp = a2y dy; p2 = a2y 2+C1; p = ± a2y2 + C1;
dy
y ± a2y2 + C1;
a2y2 + C1
= ±dx;
a
ln |ay +
a2y2 + C1| = C2 ± x.
2. Линейные