1. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ. ПРЕДЕЛЬНЫЕ
ТЕОРЕМЫ
Массовые случайные явления в своём совокупном действии
создают строгие закономерности, которые проявляются (и, следовательно, могут изучаться) лишь на достаточно большом числе испытаний (опытов). Эти закономерности могут быть количественно выражены только в форме средних чисел; средние числа выражают их тем точнее, чем большее число испытаний ими
охватывается.
В любом массовом явлении наряду с факторами, общими для
всей массы испытаний, действуют факторы случайные, то есть
такие, которые в отдельных испытаниях (опытах) могут быть
различны, и их действие может быть направлено в разные стороны (поскольку между отдельными испытаниями имеется известная степень взаимной независимости). В результате взаимопогашения действия случайных факторов проявляется действие
факторов общих для данного явления, то есть проявляется закономерность всего массового явления в целом.
Таким образом, при достаточно большом числе испытаний,
характеристики случайных событий и случайных величин, наблюдаемых при испытании (в опыте), становятся почти неслучайными. Теория вероятностей изучает эти закономерности.
Группа теорем, устанавливающих соответствие между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных
величин и случайных событий при большом числе испытаний над
ними, а также касающихся предельных законов распределения,
объединяются под общим названием предельных теорем теории
вероятностей.
Рассмотрение предельных теорем начнём с утверждений и
теорем, объединённые общим названием – закон больших чисел.
Наиболее изящные и простые доказательства этих теорем получаются с помощью неравенства Чебышева, которое мы и рассмотрим в первую очередь.
1.1. Неравенство Чебышева
Если случайная величина имеет конечное математическое
ожидание и дисперсию, то для любого положительного числа
справедливо неравенство
D[ ]
P (j M [ ]j < ) > 1
2;
(1)
где – случайная величина, M [ ] и D[ ] – соответственно математическое ожидание и дисперсия, > 0 .
Доказательство. Проведем доказательство для непрерывной случайной величины с плотностью вероятности f (x) . В этом
случае
Z +1
D[ ] =
1
(x M [ ])2f (x)dx :
Разобъём область интегрирования на две области:
jx M [ ]j < k[ ] и jx M[ ]j k[ ] , где [ ] – среднее
квдратичное отклонение ( D[ ] =2[ ] ) и k > 0 :
Z
D[ ] =
Z
+
(x M [ ])2f (x)dx +
jx M[ ]jk[ ]
(x M[ ])2f (x)dx :
jx M[ ]jОба интеграла, входящих в формулу для дисперсии, неотрицательны (в силу неотрицательности подинтегральной функции),
отбросив второй из них и заменив в подинтегральной функции в
первом интеграле jx M [ ] на минимально возможное значение
k[ ] , получим следующее неравенство:
Z
D[ ]
(x M [ ])2f (x)dx >
jx M[ ]jk[ ]
Z
> k22[] f (x)dx :
jx M [ ]jk[ ]
Так как,
P (
) =Rf (x)dx , то
или
D[ ] > k2D[ ]P (j M[ ]j k[ ])
1
> P (j M [ ]j k[ ])