Эффективное обнаружение детерминированных сигналов

ВВЕДЕНИЕ
Теория обнаружения детерминированного сигнала в аддитивном стационарном гауссовом шуме [1–3] базируется на фундаментальном результате теории проверки статистических гипотез – правиле (критерии)
отношения правдоподобия [4]. Монотонно неубывающее отношение
правдоподобия () в этом случае есть достаточная статистика, задающая линейное обнаружение со статистикой – линейной функцией
входного сигнала. В дискретном случае (входной сигнал X – вектор,
значения которого есть отсчеты непрерывного сигнала) статистика формируется как скалярное произведение
= H XT,
в котором H – весовой вектор, определяемый уравнением BH = S; B –
корреляционная матрица шума; S – обнаруживаемый детерминированный сигнал. Вследствие линейности (m, ), математические ожидания m0= m H|0= 0 , m1= m H|1= H ST= S B ST1 ; дисперсии
T
=
T1= m H
(1)
0 1
H BH S B S
1.
Логарифм отношения правдоподобия l ( )
наружения – линейная функция.
= ln ( ) линейного обЛинейный обнаружитель реализуется в виде согласованного фильтра или корреляционного приемника [1, 2]. Отношение сигнал-шум на
выходе линейного обнаружителя
2 = m22
S B ST1 =
T
1 2
d
/
d
,
2
1
2 2;U – амплитуда сигнала; 2
S B S00 0 вх
d = U
/ ш
ш –
вх
дисперсия шума; S = US0,
B = шB0 . ЛиD
нейный обнаружитель имеет симметричную относительно побочной диагонали
рабочую характеристику D = (F), D,F –
вероятности обнаружения и ложной тревоги [1,5] (рис. 1–1). Преимущество одного линейного обнаружителя над другим
проявляется в том, что D1 >D во всей области значений вероятности ложной тревоги
F
0 < F < 1. Это следует из правил обнаружения: правило среднего риска предусматРис. 1. Рабочие
характеристики
ривает использование матрицы потерь, связанной со средними вероятностями ошибок, а не с вероятностями F и D; правило Неймана–Пирсона, в котором используется заданный уровень вероятности F, справедливо для всех значений F.
Крутизна собственной [5] рабочей характеристики согласованной
фильтрации
= =
D D
F
F
( )
(2)
есть отношение правдоподобия для статистики [1, 6]. Эффективность
обнаружения можно оценить, например, площадью под рабочей характеристикой
являющейся функцией отношения сигнал-шум d2. Функциональная зависимость эффективности от отношения сигнал-шум существует при
обнаружении известного сигнала на фоне гауссова шума и по общепринятым правилам [1–5].
Рабочая характеристика рассчитывается независимо от конкретных
правил обнаружения. Различным правилам соответствуют различные
рабочие точки на характеристике, пересчитываемые одна в другую. Это
обстоятельство позволяет использовать правило отношения правдоподобия, описывающегося в пространстве статистики рабочей характеристикой, как обобщенное правило обнаружения детерминированного
сигнала в гауссовом шуме.
В случае непрерывного сигнала интегральное уравнение