§1. Теоретические сведения
1.1. Векторы
Вектором размерности n называется столбец из n чисел (часто
этот столбец записывают в виде строки по типографским соображениям). в данном тексте обсуждаются вектора размерности n =
= 3. Если i, j, k – орты координатных осей прямоугольной декартовой системы координат OXYZ, то любой вектор a единственным образом раскладывается по координатным ортам:
a = xi yj zk,
где x, y, z – вещественные числа, называемые координатами вектора a. Тот факт, что числа x, y, z – координаты вектора а, записывается так: a = {x, y, z} (столбец, записанный как строка).
в геометрической интерпретации вектору можно сопоставить
направленный отрезок прямой, один из концов которого объявлен началом, а другой – концом вектора. Связь с вышеприведенным определением устанавливается следующим образом. Если
известны начало A(x1, y1, z1) и конец B(x2, y2, z2) вектора AB, то
его координаты вычисляются по формулам:
x x=2? x1, y y=2? y1, z z=2? z1.
Операции над векторами: при сложении векторов их одноименные координаты складываются, при вычитании – вычитаются, при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.
вектору можно приписать длину, которая вычисляется для
вектора a = {x, y, z} по формуле:
a = x2+ y2+ z2.
равны их соответствующие координаты.
векторы a и b называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой. векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны.
Если a = {x1, y1, z1}, b = {x2, y2, z2}, то условие коллинеарности
выглядит так:
x x1/2= y y1/2= z z1/ .2
векторы a, b и с называются компланарными, если они параллельны одной плоскости. Условие компланарности векторов a =
= {x1, y1, z1}, b = {x2, y2, z2}, c = {x3, y3, z3} заключается в равенстве нулю определителя, построенного по их координатам:
x1y1z